引言
01
在研究中，我们经常需要比较不同组别在某个连续因变量上的平均差异。传统的方差分析（ANOVA）可以用来评估这些差异，但它忽略了可能影响因变量的其他连续变量。存在其他变量时，可使用协方差分析（ANCOVA）的方法。协方差分析（ANCOVA）可以让我们在比较组间差异时控制一个或多个连续协变量的影响。下面我们来了解下什么是ANCOVA。
什么是ANCOVA
02
ANCOVA（协方差分析）的概念由美国统计学家R. A. Fisher在20世纪30年代提出。ANCOVA结合了方差分析和回归分析的思想，可用于比较不同组的均值，同时控制一个或多个协变量的影响，其核心思想是通过控制潜在的混杂变量，更准确地评估自变量（组别）对因变量的影响。
ANCOVA中有几个关键概念：
因变量 (dependent variable)：我们想要研究的结果变量，如考试成绩。从统计学的角度来说，因变量是被检验的变量。从研究角度来说，因变量是研究的效果。
图1 因变量
自变量（independent variable)：组别变量，通常是分类变量，如不同的教学方法。
协变量（covariate)：指在统计分析中可能影响因变量的变量，但并不是主要关注的自变量。
下面我们来看几个具体的例子：
在教育研究中，研究不同教学方法对学生成绩的影响时，学生的初始能力（如前测成绩）可以作为协变量。虽然主要关注的是教学方法，但初始能力可能影响最终成绩，因此需要控制。
在医学试验中，研究新药对血压的影响时，患者的年龄和体重可以作为协变量。由于这些因素可能会影响血压，因此在比较新药与对照组时需要考虑它们的影响。
在心理学研究中，研究焦虑水平对考试成绩的影响时，学生的学习时间可以作为协变量。学习时间可能影响考试成绩，所以在分析焦虑对成绩的影响时，需要控制学习时间的变化。
在社会科学研究中，在分析不同地区的收入水平对生活满意度的影响时，教育水平可以作为协变量。教育水平可能会影响收入和生活满意度，因此在分析时应将其纳入考虑。
ANCOVA可以简单地表示成一个线性模型：
Y=β0+β1X+β2C+ϵ
其中，Y是因变量，X是自变量，C是协变量，β表示模型参数，ϵ是误差项。
其假设检验为：
零假设（H0）：各组的均值在控制了协变量后没有显著差异。
备择假设（H1）：至少有一组的均值在控制了协变量后存在显著差异。
ANCOVA的优点是能有效地排除协变量的影响，提供更可靠的结果。
分析步骤
02
下面我们通过一个示例来看下如何进行协方差分析。
假设我们想研究不同教学方法对学生数学成绩的影响，但学生的初始数学能力（前测成绩）不一样。
1. 定义变量
因变量（Y）：数学成绩（score）
自变量（X）：教学方法（group），有三种方法：A、B、C
协变量（C）：数学前测成绩（initial_score）
2. 收集数据
我们收集到了以下数据：
3. 检查数据
在进行ANCOVA之前，需确保：
正态性：检查每组的数学成绩分布。
方差齐性：使用Levene’s检验检查不同组的方差是否相等。
4. 建立模型
在R语言中，我们可以使用以下代码来进行ANCOVA分析：
# 导入数据
data <- data.frame(
student_id = 1:9,
group = factor(c("A", "A", "A", "B", "B", "B", "C", "C", "C")),
initial_score = c(75, 80, 70, 75, 85, 80, 70, 75, 78),
score = c(85, 88, 82, 90, 95, 92, 80, 85, 87)
)
# 进行ANCOVA分析
model <- aov(score ~ group + initial_score, data = data)
summary(model)6. 分析结果
假设输出如下：
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 2 124.22 62.11 89.22 0.000123 ***
initial_score 1 53.19 53.19 76.40 0.000325 ***
Residuals 5 3.48 0.70
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1在这个输出中：
group的p值为0.000123，表明不同教学方法之间的均值差异是显著的。
initial_score的p值为0.000325，表明初始成绩对数学成绩的影响显著。
7. 进行事后检验（post hoc test）
如果想要进一步了解哪些组之间存在显著差异，可以进行Tukey检验：
TukeyHSD(model)输出结果如下：
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = score ~ group + initial_score, data = data)
$group
diff lwr upr p adj
B-A 7.333333 5.116614 9.550053 0.0002827
C-A -1.000000 -3.216719 1.216719 0.3796214
C-B -8.333333 -10.550053 -6.116614 0.0001520数据结果说明：
- 组B的成绩显著高于组A。
- 组C与组A之间没有显著差异。
- 组C的成绩显著低于组B。
8. 结果可视化
可以使用箱线图展示结果：
ggplot(data, aes(x = group, y = score)) +
geom_boxplot(fill = c("lightblue", "lightgreen", "lightpink")) +
labs(title = "不同教学方法的数学成绩比较",
x = "教学方法",
y = "数学成绩") +
theme_minimal()
9. 报告结果
在报告中，可以说明以下内容：本研究采用协方差分析（ANCOVA）对不同教学方法对学生数学成绩的影响进行了深入分析。结果显示，教学方法对学生数学成绩的影响极为显著（p < 0.001），表明教学方法的选择对学生的数学学习成效具有重要影响。此外，学生的初始数学能力同样对成绩有显著影响（p < 0.001）。进一步分析发现，与教学方法A相比，教学方法B显著提升了学生的数学成绩，而教学方法C的成绩虽与教学方法A无显著差异，但明显低于教学方法B。这些结果为教育工作者在选择教学方法时提供了有力的实证依据，推荐在教学设计中优先考虑采用教学方法B，以期提高学生的数学成绩。
ANCOVA和ANOVA的区别
04
ANCOVA（协方差分析）和ANOVA（方差分析）都是用于比较组间均值的统计方法，它们的关键区别如下：
1. 协变量的使用
ANCOVA：除了比较自变量（组别）对因变量的影响外，ANCOVA还包括一个或多个协变量（控制变量）。它通过控制协变量的影响，可以更准确的比较组间均值。
ANOVA：仅比较自变量（组别）对因变量的影响，不考虑任何其他变量的影响。
2. 分析目的
ANCOVA：旨在评估自变量对因变量的影响，同时控制潜在的混杂变量。它可以提高统计功效，减少因变量的误差变异。
ANOVA：主要用于确定不同组之间是否存在显著的均值差异，不考虑其他变量的干扰。
3. 模型复杂度
ANCOVA：模型通常更复杂，因为它包括协变量，并需要验证协变量与因变量之间的线性关系。
ANOVA：相对简单，只需要比较组间的均值和方差。
4. 假设检验
ANCOVA：除了需要满足ANOVA的基本假设（如正态性、方差齐性）外，还需检验协变量与因变量之间的线性关系。
ANOVA：主要关注因变量的正态性和各组方差的齐性。
5. 应用场景
ANCOVA：适用于存在潜在混杂变量的研究场景，例如教育、医学研究等。
ANOVA：适用于简单的组间均值比较，没有复杂的协变量控制需求。
下面我们来看一个具体的例子：
假设我们研究不同教学方法对学生数学成绩的影响
1） 使用ANOVA分析时，我们比较三种教学方法（A、B、C）对学生数学成绩的影响，而不考虑任何其他因素。
2） 使用ANCOVA分析时，我们在比较三种教学方法（A、B、C）对数学成绩的影响，同时考虑学生的初始数学能力（前测成绩）作为协变量。
相比之下，ANOVA仅比较教学方法对数学成绩的影响，未考虑初始能力。可能导致得出不准确的结论。ANCOVA比较教学方法的影响，同时控制初始能力，提供了更准确的组间差异评估。
小结
05
本文介绍了统计中的协方差分析（ANCOVA）。协方差分析可以用评估不同组别在特定因变量上的表现，同时控制一个或多个关键协变量的影响。通过这种方法，我们能够更准确地理解不同组别之间的真实差异。然而，使用ANCOVA时，如果协变量的选择不当或数据存在异常值，可能会影响分析结果。后续我们会介绍更多的统计学知识，敬请关注。